上一节，由于我们注意到2×5=10，4×25=100，8×125=1000，……，而找到了判定一个数能否被2n和5n整除的数的方法.由此，我们会联想到有三个质数的乘积：

　　7×11×13=1001.

　　也是一个仅比1000多1的数！那么，能否利用类似的方法，找到判定能被7、11或13整除的数的方法呢？

　　我们来考察一些例子.

　　如一个五位数：32592.

　　32592=32000+592

　　=32×1000+592.

　　为了使1000“变成”1001，我们可以实施在同一个式子里加上一个数，再减去一个相同的数.即

　　32592=32×1000+32-32+592

　　=32×1001+（592-32）.

　　这个加法式中的前一部分有因数1001，显然能被7、11或13整除的，后一部分

　　592-32=560=80×7，

　　能被7整除.根据“和的整除性”可知，32592这个数能被7整除.

　　又如一个六位数：879835.

　　879835=879000+835

　　=879×1000+835

　　=879×1000+879-879+835

　　=879×1001-（879-835），

　　这个减法式的前一部分有因数1001，显然能被7、11或13整除，后一部分

　　879-835=44=4×11

　　能被11整除，因此，由“差的整除性”可以判定879835这个数能被11整除.

　　再如一个七位数：1112592.

　　1112592=1112000+592

　　=1112×1000+1112-1112+592

　　=1112×1001-（1112-592）

　　显然，减法式中的前一部分能被7、11或13整除，后一部分

　　1112-592=520=40×13

　　能被13整除，因此，由“差的整除性”可以判定1112592这个数能被13整除.

　　如果我们在考察这三个例子时，十分细心地注意到

　　这些算式中的后一部分相减的两个数与原数中数字之间的联系.我们似乎可以猜想到一个规律，一个判定多于三位的自然数能否被7、11或13整除的规律.聪明的读者能猜想出这个规律吗？

    【规律】

　　一个多于三位的自然数，它的末三位数与末三位数以前的数字组成的数之差，能被7、11或13整除，这个数就能被7、11或13整除.

　　这表明式中的前一部分能被7、11或13中的任何一个数整除，只要后一部分（即原数的末三位数与末三位数以前的数字组成的数之差）能被7、11或13整除，这个数就能被7、11或13整除.

　　因此，我们的猜想是正确的.

　　【练习】

　　1.判定下面各数能否被7、11或13整除.

　　9009 48125 216125 1860859

　　400400 888888 9999999 1991000

　　71113 965965 280280 280028

　　2.照样子判定下面各数能否被7、11或13整除.

　　例977654321能否被7整除.

　　977654-321=977333（差仍然较大！）

　　977-333=644=92×7

　　因为644能被7整除，所以977333能被7整除；又因为977333能被7整除，因此，最后有977654321能被7整除.

　　4365009 8008308 2224222

　　50673210 79809012 62349034

　　123456789 987654321 999999999

　　3.由于11=10+1，你能仿照本节的方法自己再得到一种判定一个自然数能否被11整除的规律吗？